B站网课：2025学年树成林数学一轮复习全程课（13.1GB高清视频）百度网盘

　　B站网课：2025学年树成林数学一轮复习全程课，百度网盘树成林老师高中高考数学复习课程13.1GB高清视频。
　　这节课我们讲求值域问题。狠话摆在前面，听完这节课，对于任何任何高考范围内求子欲的问题，你就彻底一劳永逸了。不只是今天这节课一劳永逸，我们整套课程主打的就是一个一劳永逸，完全可以保证在今后课程任何一个板块，任何一种题型，只要是我们讲过的。只要你认真落实了，以后你碰到任何这种题型，全部都是永远做对拿满分。全网没有哪个老师把整个高考拆分到这么细致去讲解，也没有哪个老师能在一个细分板块里全部给你配套几十个精准的习题。
　　这节课同时也是给没有买过课程同学的试听课。在接下来的一两个小时中，你可能会听到一些，比如说三角画圆技巧，整体的复杂的整体画圆笔直画圆之类的。在这节课中，这些技巧只是略微提及，但在后面的课程里面，这些东西都会做专门详细的。详细彻底，一劳永逸的讲解，还有练习，反正这节课讲什么你就整理什么，只要你按照我的要求一步一步巩固整理你的高考数学。将彻彻底底没有一点问题，躺着上140。如果遇到听不懂的内容，那就拉动你的进度条拉回去再听个十遍。没有重复的去理解，就没有资格说自己听不懂你到底是真的听不懂还是不愿意去听懂呢？窝囊废一样，没有上进心，你听不懂一定是你的问题。难道你一天死磕一道题，还有可能听不懂吗？如果在一开始态度就没有端正，那就别上课了。滚到高考90分以下的垃圾堆里面去，态度不好的不想认真落实的就别买我的课，白白浪费了这么好的东西糟蹋了。
　　算了，我也不逼逼赖赖了，反正真正聪明的人肯定听得懂我在讲什么，我到底是什么意思，如果你这些话明明一个好东西摆在你面前，你都不去争取，不端正态度。去认真学习，那你就天然没有考高分的命，你的命真烂。不废话了，我们进入正题，讲所有函数求值域问题大总结。它是一个总结类的东西，我们在讲完课程之后再进行各种方法系统的梳理总结。
　　我们先讲第一类问题，分式值域。这类问题主打的就是分母化原。到时候你会理解的，我现在直接讲题目了，这道题它让我们求的是函数fx=x+1÷x^2加2 x+10。在x大于等于零，小于等于八的时候的值域为多少？很简单，我接下来要讲的方法是换元法。换元法主打的就是把它换成我们一个常见的函数，这个东西我们肯定感觉很陌生，不知道它是什么东西嘛，对吧？那么，我既然要求值域，肯定是要把它换成我们熟悉的形式，对吧？好，既然是我们第一次讲，我就讲慢一点，这个题到底怎么做？请看好。另替。等于x+1我接下来把这个东西转换成我们熟悉的函数。这个时候x是不就等于t- 1了，那么分母x方加2 x+10等于什么？等于t- 1括号平方加2 t- 1+10=t^2减2 t+1+2 t- 2+10，不要写错了。等于二二约掉，就等于方加九，其实不用这么麻烦也可以，如果你观察力观察能力强的话，你会发现他岂不他？它这个x方加2 x+1+9是不是就是x+1括号平方加九是不是就等于t方加九啊？对吧？直接观察出来。直接观察出来也可以啊，好，那么我令t为fx的分子，然后分母是我们算出来是t方加九了，对吧？那么所以这个时候fx它就化成了。一个新函数gt=t÷t^2加九，然后t的范围是什么？
　　一定要注意定义域啊。函数变成新的函数了，那么自变量它的定义域也要注意的，一定要小心，不然这种选择题他故意设置你一个坑，你到时候就跳进去了。这里t的范围是什么t？是不是等于x+1对吧？x是不是大于等于零，小于等于八对吧？所以t的范围就是t大于等于一。12=9，这个时候我对这一个分式进行一个操作，什么操作呢？分子分母同时除以t，是不是就会变成我们熟悉的函数了？这个函数叫什么？是不是对勾函数呀？对吧？好gt是不是等于一除？除以t加t分之九诶，这个函数我们是不是非常熟悉？它是不是一个对勾函数？对吧？那么对勾函数在t大于等于一，小于等于九的时候，它的值域是多少呢？我们都知道。这一个对勾函数什么时候取得最小值？我现在说说的只说的是这个分母啊，什么时候最最小值啊？是不是等于根号九=3的时候是这样子，对吧？你用君子不等式也可以解释啊，加分之九是不是大于等于二根号九就是六啊，对吧？什么时候取，等它们俩相等的时候取等嘛，所以t=3的时候，它的这个最小值。是六好，那么它最大值呢？最大值是不是要么在一的时候取到，要么在九的时候取到，对吧？
　　那么一的时候，它等于多少？是不是19的时候呢？是不是也是十？所以它最大值就是十那么倒过来这个题的答案就是。十分之一到六分之一，所以这道题选c。好在这里我拓展一下。如果这个x大于等于零，小于等于八没有呢？那这个题答案是什么？大家注意啊，这里是我埋的一个伏笔，等我讲到第三题第四题的时候，你就知道我为什么要这么问你啦？
　　如果x属于r的话，这个函数值域怎么求啊？怎么求我现在求给大家看一看啊？是不是一样的方法？是不是还是一样的？把这个gt换成什么啊？还是换成这种形式嘛，就是t方加九的形式。但是t的范围呢，就不一样了。t的范围我我请问一下大家t是不是也属于二对吧？因为x属于二嘛，所以我是不是要求这个新函数的一个什么？它的值域是不是就可以了，对吧？
　　好，那么这个能不能进行？我们刚才那样操作呢，我令它等于t加t分之九，能不能直接这样子啊？不可以。因为分子分母同时除以t的条件是什么？是不是t必须不等于零啊？对吧？所以这里要讨论了，这很容易错的啊。t=0时。gt=0那么t不等于零时呢诶，这个时候我就可以把它画到这个分段函数了，这个对勾函数的导数了gt=1除以。
　　加加分之九，我们刚刚说了这个对偶函数在大于零的时候啊，它的最小值是不是等于三的时候取到是六对吧？但是我这里属于二了。所以这个时候加分之九，它的范围是负无穷到负六并上六到正无穷，那么这个范围对应的倒过来，它分之一。这t加t分之九分之一，它对应的范围是什么？我们是不是画一个函数图像啊？我们是不是画出一个反比例函数y等于x分之一的图像，然后负无穷到负六是不是对应这段期间？那么负六我给它描出来，这里是负六分之一，那么六呢？我也描出来六到正无穷，是不是这一段对吧好？那这里也是六分之一，那我们要的是哪一段？我用不同颜色笔描一描，我们要的是不是就是这一段并上这一段的值域啊？对吧诶？不等于零的时候，我就求出来的范围是什么？是不是负六分之一到零可以取等啊？并上什么零到六分之一？那么，这两种情况合起来，这个时候具体的值域是多少？
　　对吧？呃，是是不是就是这个负六分之一到六分之一了？对吧？就这么简单，主要是t等于零的时候要考虑啊。那么我这里先埋一个悬念。这个t属于r的时候就x属于r的时候啊，它的值域还有另外一种方法，另外一种方法我们等一下讲。你们一定要认真听，慢慢吸收。好，接下来我们讲第二题。我们总结一下吧，第一题我们讲了什么？是不是我们对这个东西进行画圆啊？对吧？我们对它进行画圆，然后把它变成对勾函数。然后就变成我们对勾，首先对勾函数了，对勾函数值域我们都知道，所以整个函数值域我们也可以求出来。我刚刚说了，我刚刚是不是说了这种方法叫分母化原啊？对吧？其实啊，分母分子其实无所谓的，比如说我在现场出一个另外一道题，比如说我让你求函数fx等于。我随便乱写啊x减二四x方加101 x- 102。这个东西怎么求？我我让你求x属于二的时候的值域啊，这个时候它的值域怎么求啊？对吧？怎么求？是不是我令分母m=x- 2，然后这个时候分子可以自动除以分母，然后得到一个关于m的对勾函数，再加一个常数对不对？是不是也是一种形式啊？对吧？其实分子分母都是一样的啊，不信我们做给你们看嘛，我们稍微做一下，我定m=x- 2是不是也属于二对吧？那这个时候x是不是等于n+2那fx是不是也可以换成？最终化简的形式是不是也是多少多少平方多少多少一个系数乘以n平方，加上多少乘以n再加一个多少一个常数，再除以n对吧？这不就可以化成一个关于n的对勾函数吗？然后再加一个常数嘛，对吧好？就是这种形式都一样的啊，都一样的。所以第一个方法我们就讲完了，这个方法就叫分母换元，之所以为什么给分母换元，就是因为我想上下同时除以它。
　　这样就会少很多麻烦，这种方法在我们后面讲解析几何专题的时候。最后一步，极其极其极其常用。你要是这个方法都不会，那你就去吃屎吧。下一题我们同样还是讲分式值域，但这一道题我们用的另一个技巧叫做分离常数。上面这道题我们讲过分母换元的方法了，这道题我们讲分理常数啊，这里。我们要求的是函数y=2 x方减2 x+3除，以x方减x1+1，它的最大值我们明显发现这个东西是不是很挺规整的，对吧？
　　如果这里不是三，这里是二的话，那y是不是永远等于二了，对吧？那这里明显就可以分离常数嘛，分离常数我们为什么要分离常数分离常数本质是什么？记住化简好看好观察。这个题我们是不是观察出来这个x方x方这里是不是刚好系数是等比例的呀？对吧？好，那这里我就可以对它进行操作了。看好。y是不是等于2x方减2 x+2，再加个一对吧？除以x方减x+1。
　　等于2x方减x+1，再加个一除，以x方减x+1就等于什么啊？就等于二+x^2减x+1。我接下来要求y的最大值，这个时候我是不是只要知道它的范围就可以了，我要求y的最大值y关于这个东西是单调递增还是单调递减对吧？是不大家递减啊，对吧？要求y的最大值，我是不是只要知道x方减x+1的最小值是不是就可以了？这个东西是不是太常规了？它就是一个二次函数啊。它什么时候取最小值啊？是不是x对称轴x等于二分之一的时候？
　　这个东西取最小值啊，对吧？它其实就是x减二分之一括号平方加四分之三嘛？那它最小值是不是就是四分之三对吧？那所以它的最大值就是二加上三分之四等于三分之十，当且仅当x等于二分之一的时候取等。y max等于三分之十，所以这个题答案就三分之十好。我又不是垃圾老师，我讲一道题肯定不是把这道题讲完就不讲了嘛，接下来我还要进行各种各各样的拓展。接下来拓展的内容才是最重要的内容。这个分离常数呢，其实并不难，如果一道题它只考分离常数，那么这个题也太简单了。我们经常遇到的情况是什么？是我第一个讲过的方法，分母化原和分离常数合起来考。这种情况在解析几何以及各种不等式啊，什么向量各种板块里面更加常见，考试可不会只考一那么简单的一种方法。他肯定是多种方法搂起来，那样命题人才让更多的同学做不出来，满足他的变态心理嘛，对吧？好，那么我把这个题稍微改一改，你看一看你还会不会做？我把这个东西都擦掉先，我把这个题改成我让你求y=2 x方减3 x+3除以。它我让你求这个东西的最大值。这个时候你该怎么做呢？大家看好，其实也是基本一样的操作，我们先把能分离的全部分离出去。我还是照常凑一个二括号x方减x+1，那么剩下什么呢？我后面呢？这后面这些地方我们通过加加减减给它补回来。这个时候我们看到原式是不是减3x，对吧？那么我再补一个，再减个x不就好了吗？然后再加个一不就好了吗？
　　除以x方减x+1=2，加上减去吧，我写二减去啊，无所谓。不影响答案x- 1÷x^2减x+1。好，接下来我要如果我要求y这个函数的值域的话，我是不是只要求它的值域就可以了？对吧，那他的值域怎么求？是不是还是我们刚刚讲的换元法呀？把它化成对勾函数啊，对吧？那我就很简单，是不是直接令他换言就好了呀？
　　对吧？一环扣一环的啊，上面那道题只有你把它全部听懂之后你才可以听下一题。包括我的课程也是这样，你只有彻底掌握好第一节课，你才有资格去听第二节课。不然听不懂，就是你的问题了，因为所有东西我都会讲到。那么，接下来怎么求啊？我是不是令t=x- 1对吧？那这个时候。分这个分母就变成什么？是不就是因为这个时候x就等于t+1了嘛，对吧？这个时候x方减x+1就等于。t+1括号平方减。t+1。加一这里拆括号的时候一定不要做算错啊，很容易错的，等于t方加2 t+1。减t-1+1-1+4，刚好约掉了，对吧？那这个东西就变成什么t方加t+1？那这里就变成了二减t除以t方加t加一，这个时候我分子分母同时除以t就得到什么二减去？t加。t分之一。
　　加一又变成对勾函数了，对吧？太简单了，这个时候t的范围是不是也属于二对吧？那我只要看。我只要看一下这个对勾函数的范围，那我新出的这道题是不是又可以做出来了？对吧？就这么简单，全部都是通的。我刚才在上一道题埋了一个伏笔，我们之后会讲一个万能方法，这个题也可以用这个方法做，我现在也埋一个伏笔啊，这个方法。
　　还有另外方法可以做的，只不过我们等一下讲就是有就是要吊你的胃口，你才会把这个课听完。一般没有毅力的课，没有毅力的同学很难听完课程的，我就是要故意吊你胃口，故意搞你心态。平时就要接受这种训练好下一题。这道题就有点特殊了。它会涉及到一些比较有技巧性的整体换元，但这个整体换元我们在之后的课程也会详细讲了啊，这里只是稍微让你们开一开。这个开阔一下你们的见识。这种题高考也会考的啊，只不过不是以这种填空题的形式考明确的讲好，我们看这道题，它说已知函数fx=x的四次方减x方。除以x六次减16x三次减一哎，这个东这个一下子有些同学看到一下就被吓到了。但你只要听完我讲的方法之后，吓到的就是别人，如果你以后在考场上遇到这样的题目。你会发现你同学都是傻逼，这么简单题都不会做，只有你会做，因为你上了我的课好。先不吹逼了，我先直接讲。因为是第一次讲，你们请一定一定要认真。
　　记好悟透每一个细节，榨干我的所有价值。我对fx进行一个这样子的操作。fx=x四次减x平方。除以x的六次减16x三次方减一。我对分子分母同时除以一个x三次方。同时，除以。x的三次方。这个时候。我们看啊，分子是不就变成了x减x分之一？分母呢，变成了x三次减x三次分之一减十六。好，接下来我会进行一个整体换元，我令t=x。减x分之一。刚才我埋了个陷阱啊，就这么做，其实不对的同时，除以x三次方有一个前提条件是什么？是不是x必须不能等于零我们才可以这么操作对吧？啊，这个先不急啊，我们等一下再考虑，反正我们心里只要知道x不等于零就可以了，好接下来重点是这个东西，这个技巧非常非常重要。我令t等于x减x分之一，为什么我这么令因为？整体换元的一个重要目的是什么？我既然敢这么整体换元，我就非常睹定其他东西也可以，只用一个t就可以表示光。那么，我令t等于x减x分之一，就是因为x三次方减x三次分之一。就是能用t彻底表示的干干净净，都可以表示出来，不信的话我就表示给你看嘛，根据立方差公式，它等于什么？是不是就等于x减x分之一，然后啊，如果你立方差公式都不会背的话，那就滚出去吧，初中都没学好。x方。加x乘x分之一，加x方分之一。好，这个是不是就是t对吧？里面这个东西是不是x方加x方分之一加一而？t的平方等于什么？是不是就是x方加x方分之一减二啊？对吧？所以这个东西就是t方加三嘛？所以这个东西你能表示出来，那我直接带入这个分母里面。
　　是不是就是t除以？t三次加3 t- 16，这个时候我上下同时除以t。是不是又可以得到一个我们熟悉的函数了，对吧？好，那那个值域就不成问题了，我直接进行操作了啊。这里还是保留着x减x分之一好，这个时候我令上下同时除以t就得到，当然t肯定不能等于零啊，这里又又要求t不等于零了。t方。加三减t分之十六。好，接下来如果我要求fx的值域的话，是不是只要瞄准这个函数，我把这个函数的范围给它求出来，是不是就可以了？倒过来这个很简单嘛。好，那我另一个新函数gt等于t方减t分之十六加三。这个函数值域怎么求？是不是太简单了？直接求导是不是就可以了？求导法很万能嘛？好，那么我们在求导之前肯定要知道定义域的范围，定义域t是不是等于x减x分之一，对吧？
　　我还要求t不等于零了。那么，属于零到一的时候，就是属于零到一的时候的范围，它是属于什么？是不是负无穷到零对吧？好，也就是说我们要求。t小于零时gt的范围，那我就对它进行求导嘛。g1撇t=2 t，加上t方分之16。然后呢，它就我把这个二给它提出来啊，是不得到t方分之t的三次方加八对吧？
　　这个零点是多少？零点是不是t=- 2啊？对吧，那么t=- 2是它的极小值点还是极大值点？是不是极小值点对吧啊？各位都是高三的学生，一轮复习的学生啊，如果你连导数竟然都没学过的话，那你前面学什么呢？我们是高三高考的一轮复习，这些导数基本的知识点，如果你都不知道，请立刻自己去找资源，把这些基础知识给我补齐了再过来。t=- 2，是不极小值点，所以我就得到gt。在负无穷到负二单调递减负二到零单调递增，所以gt首先我们知道我们不是要求gt范围吗？所以gt最小值是不是就是？g负二了对吧？g负二等于多少呢？我们把这个值给它带进去嘛，是不就是四+8+3？对吧，四+8+3是不是等于15啊？对吧，好，这是基期的最小值，那基期最大值呢？
　　gt我请问一下gt有没有最大值？是不是没有啊？大家看啊，如果这个t是负无穷的话t发出变正无穷，所以gt是可以取到正无穷的。所以我就得到什么gt它的值域就是15到正无穷那么。这个fx是不就是gt分之一，所以此时fx的范围就是零到十五分之一。好，大家注意啊t=0，这个是最终答案吗？不是因为我们还有情况，没有讨论，就是x=0以及t不等于零的时候。大家看啊x等于零的时候fx是不是等于零对吧？
　　那么t等于零的时候是不是x减x分之一等于零的时候是不是x等于一的时候对吧？这个时候fx也等于零，所以最终的答案是零，这个值。和这个零到十五分之一给它合起来，所以最终的答案是零到十五分之一。好，这个题就暂时做完了。我肯定不是只讲这一道题的，我接下来还要进行各种各样的拓展好。我先在拓展之前，我先把这个题目给它擦擦一些东西啊，把这个擦的干干净净。好，我第一个拓展的点是。
　　拓展一啊，拓展一。gt.求最小值的方法。我们刚刚。是不是通过什么通过这个求导法看单调性，然后看出gt的最小值对吧？那么这里我要拓展一种方法，就是gt求最小值的。另外一种方法用。基本不等式。用不等式求这个gt的最小值。大家注意啊，你们在高一学这个基本不等式的时候，你们老师是不是跟你讲过一正二定三等号对吧？
　　那么是不是前提条件必须是正数对吧？好，那么这里t小于零怎么办呢？这个简单嘛，这个gt不就等于负t括号平方加负t16+3吗？对吧？那么我们这个题就不用考虑那么多了，我直接考虑。求x方加x分之十六加三括号x大于零，我们用不等式方法求一求这个最小值。这个该怎么求呢？有些同学可能会说诶，这个不等，如果它这个函数是x加x分之x加x分之十六加三诶，这个我会求直接是不是大于等于？
　　资源目录
　　01.「试听」彻底解决一切函数求值域问题（一）【仅此讲含馨雅网www.babyxy.cn水印】.mp4
　　02.「试听」彻底解决一切函数求值域问题（二）.mp4
　　03.「试听」彻底解决一切函数求值域问题（三）.mp4
　　04.「试听」各种巧妙的几何意义博览.mp4
　　05.「函数」二次函数根的分布问题.mp4
　　06.「函数」韦达定理设而不求在多参问题的应用.mp4
　　07.「函数」函数的奇偶性拓展(一）.mp4
　　08.「函数」函数的奇偶性拓展（二）.mp4
　　09.「函数」函数的周期性拓展（一）.mp4
　　10.「函数」函数的周期性拓展（二）.mp4
　　11.「函数」函数的周期性拓展（三）.mp4
　　12.「函数」函数的对称性拓展（一）.mp4
　　13.「函数」函数的对称性拓展（二）.mp4
　　14.「函数」同构构造函数看单调性.mp4
　　15.「函数」函数的泛对称问题（一）.mp4
　　16.「函数」函数泛对称性问题（二）.mp4
　　17.「函数」一节课彻底解决函数图像.mp4
　　18.「函数和导数」平凡分段函数（一）.mp4
　　19.「函数与导数」平凡分段函数（二）.mp4
　　20.「函数与导数」平凡分段函数（三）.mp4
　　21.「函数与导数」分段函数超复杂画图讨论类题型浅析.mp4
　　22.「函数与导数」分段函数与高级几何意义入门.mp4
　　23.「函数与导数」分段函数高阶压轴题型总结（二次复合函数）（一）.mp4
　　24.「函数与导数」分段函数高阶压轴题型总结（二次复合函数）（二）.mp4
　　25.「函数和导数」定义域和值域伸缩问题（一）.mp4
　　26.「函数和导数」定义域和值域伸缩问题（二）.mp4
　　27.「函数和导数」平凡恒等式的应用（一）.mp4
　　28.「函数和导数」平凡恒等式的应用（二）.mp4
　　29.「函数和导数」平凡恒等式的应用（三）.mp4
　　30.「函数和导数」半分参与数形结合在函数压轴题中的运用.mp4
　　31.「函数和导数」整数估计类压轴题，被半分参降维打击后简直简单的要死.mp4
　　32.「函数和导数」两边夹和半分参.mp4
　　33.「导数」点到直线距离公式在压轴小题中的运用.mp4
　　34.「导数」两曲线上连线最短问题.mp4
　　35.「导数」同构专题的吓人题引入.mp4
　　36.「导数」和差同构.mp4
　　37.「导数」积同构.mp4
　　38.「导数」整体换元和同构的题型区分.mp4
　　39.「导数」同构专题综合训练（一）.mp4
　　40.「导数」同构专题综合训练（二）.mp4
　　41.「导数」同构专题综合训练（三）.mp4
　　42.「导数」超越数比大小问题.mp4
　　43.「导数」反求导第一课，指数类型.mp4
　　44.「导数」反求导第二课，幂函数类型.mp4
　　45.「导数」反求导第三课，三角函数类型.mp4
　　46.「导数」反求导（不定积分）专题综合训练（一）.mp4
　　47.「导数」反求导（不定积分）专题综合训练（二）.mp4
　　48.「导数」反求导（不定积分）专题综合训练（三）.mp4
　　49.「导数」极值点的偏移.mp4
　　50.「导数」比值换元.mp4
　　51.「导数」主元变换.mp4
　　52.「导数」端点效应.mp4
　　53.「导数」隐零点的运用.mp4
　　54.「导数」三角函数和导数结合的包装类压轴题.mp4
　　55.「导数」切割线放缩证明导数复杂不等式（博览）.mp4
　　56.「不等式」基本不等式的拓展.mp4
　　57.「不等式」分式不等式的变形方法.mp4
　　58.「不等式」不等式的“恰”成立问题（伪不等式）.mp4
　　59.「不等式」齐次化操作难题：综合训练（一）.mp4
　　60.「不等式」整体换元洞察出对勾函数（重要运算技巧）：综合训练（二）.mp4
　　61.「不等式」单变量思想（消元法）解不等式难题：综合训练（三）.mp4
　　62.「不等式」绝对值三角不等式的运用：综合训练（四）.mp4
　　63.「不等式」不等式几何意义难题举例：综合训练（五）.mp4
　　64.「不等式」柯西不等式和权方和不等式（博览）.mp4
　　65.「解析几何」圆锥曲线的四大定义+与立体几何相结合的练习习题.mp4
　　66.「解析几何」圆锥曲线第二第三定义的包装类习题补充.mp4
　　67.「解析几何」椭圆小题基础课.mp4
　　68.「解析几何」椭圆小题拓展课.mp4
　　69.「解析几何」双曲线小题基础课，渐近线易错知识点.mp4
　　70.「解析几何」双曲线小题拓展（大运算量）.mp4
　　71.「解析几何」抛物线小题基础课，紧扣第一定义.mp4
　　72.「解析几何」抛物线小题拓展课（大运算量版）.mp4
　　73.「解析几何」含比例的点到直线距离公式专题.mp4
　　74.「解析几何」轨迹方程问题和最终式思想.mp4
　　75.「解析几何」轨迹方程消参思想与单变量思想（继上节，非常重要）.mp4
　　76.「解析几何」立体几何动点的轨迹方程问题（强包装，新高考喜欢）.mp4
　　77.「解析几何」圆锥曲线与五心结合的包装小题（一）.mp4
　　78.「解析几何」圆锥曲线与五心结合的包装小题（二）.mp4
　　79.「解析几何」光学性质小题总结（新高考喜欢）.mp4
　　80.「解析几何」阿波罗尼斯圆和阿波罗尼斯球.mp4
　　81.「解析几何」圆锥曲线的定值问题总结.mp4
　　82.「解析几何」点差法设兰姆达的单变量思想（综合训练1）.mp4
　　83.「解析几何」有灵性的面积压轴题（综合训练2）.mp4
　　84.「解析几何」有灵性的面积压轴题（综合训练3）.mp4
　　85.「解析几何」切线专题（一）.mp4
　　86.「解析几何」切线专题（二）.mp4
　　87.「三角和向量」三角恒等变换基础公式一遍过.mp4
　　88.「三角和向量」三角恒等变换基础公式应用博览.mp4
　　89.「三角和向量」三角函数的知一求二与换元洞察.mp4
　　90.「三角和向量」三角函数的图像及其平移伸缩变换.mp4
　　91.「三角和向量」三角函数图像欧米伽专题的通性通法（一）.mp4
　　92.「三角和向量」三角函数图像欧米伽专题的通性通法（二）.mp4
　　93.「三角和向量」向量的几何意义（一）：三角形面积.mp4
　　94.「三角和向量」向量的几何意义（二）：圆.mp4
　　95.「三角和向量」向量的几何意义（三）：骑马少年的数学模型.mp4
　　96.「三角和向量」向量的几何意义（四）：投影的应用.mp4
　　97.「三角和向量」向量的几何意义（五）：阿波罗尼斯圆.mp4
　　98.「立体几何」线段长度和的最值问题（三维动点的最值问题）.mp4
　　99.「立体几何」利用线面关系求三维动点的轨迹问题.mp4
　　100.「立体几何」立体几何翻折专题（高阶版）.mp4
　　101.「立体几何」立体几何大题的建系方法分类.mp4
　　102.「立体几何」大题的建系的“兰姆达”法讲解.mp4
　　103.「数列」等差数列拓展（一）：两个等差数列前你项和之比问题.mp4
　　104.「数列」三角数列和周期数列高阶小题精选（含蛛网图入门）.mp4
　　105.「数列」不动点，求分式数列通项公式的万能方法.mp4
　　106.「数列」蛛网图和圆锥曲线结合的数列放缩问题.mp4
　　107.「数列」从蛛网图到“双蛛网图”.mp4
　　108.「排列组合」二项式定理的拓展和组合数性质初步.mp4
　　109.「排列组合」放球问题——用“自动”思想攻克排列组合中的最难考点.mp4
　　110.「排列组合」涂色问题总结+数列递推与组合结合问题初步.mp4
　　111.「排列组合」插空法、隔板法、捆绑法专题.mp4
　　112.「排列组合」把递推数列融入排列组合（一）.mp4
　　113.「排列组合」把递推数列融入排列组合（二）.mp4
　　114.「排列组合」分布列与分类讨论&错排公式.mp4
　　115.外接球与内切球综合（一）.mp4
　　116.外接球和内切球综合（二）.mp4
　　117.内切球与外接球综合（三）.mp4
　　118.抽象函数综合专题（一）.mp4
　　119.抽象函数综合专题（二）.mp4
　　120.向量中的奔驰定理.mp4
　　121.三角形四心和向量结合综合专题.mp4
　　122.向量中的等和线专题.mp4
　　123.双离心率问题（椭圆和双曲线的共焦点问题）.mp4
　　124.向量-极化恒等式（一）.mp4
　　125.向量-极化恒等式（二）.mp4

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