B站网课：2025学年树成林数学大题狂飙营（4.41GB高清视频）百度网盘

　　B站网课：2025学年树成林数学大题狂飙营，百度网盘树成林老师高中高考数学课程4.41GB高清视频。
　　同学们好哦，不同学们，你们现在肯定不太好，我们的第一节课会让你变好，我们主打的就是一个变号，就是逆袭。如果在这节课之前你的数列，但凡有一次没有做对，我都说你是不及格的，不仅要做对，而且还要每次在五分钟之内搞定。知道你数学为什么考不高吗？就是因为太慢了，没时间想那些能做对的题，这节课刚开始题目比较基础，后面会越来越难。注意，我会讲的足够细致，你听不懂一定是你的问题，没有听个三四遍就没有资格抱怨自己听不懂。你到底是真的听不懂，还是自己不愿意听懂呢？我已经讲的足够细了，你到任何地方都找不到讲的比我细的，我敢保证。我的课程设计很精巧，知识密度非常大，这就要求你需要保证高度专注的状态，我的一节课能顶你们学校老师十节课。你是来逆袭的，是来战斗的，正是因为密度极大，稍微走神个一两秒，可能就听不懂了这节课是。是数列的基础知识扫盲。废话不多说，我们直接开始。你可能听说过数列的基础知识是什么？等差数列等比数列，我说这些都是傻逼才这么讲的。真正的本质是累加和累，乘我这么说还是很笼统，但是我写出这两个公式，你只要记住这两个公式，它能帮你串起数列所有所有的知识点。
　　第一个公式an=an-an- 1，注意这个公式是揭示累加法的啊，加上an- 1÷a-an- 2，然后一直加加到。a2-a一，然后再加a1。注意，这个公式是什么意思呢？你注意看啊，我是从左往右写的，也就是说我要表达的意思是一个展开逻辑。我是一个展开的思想，也就是说我需要把这个an当我们需要把这个an求出来的时候，我们把这个东西给它展开，然后呢？
　　这一项这一项这一项这一项我们全都知道，在这种基础上，我们才采用这种累加的方法，我说为什么这个累加法比等差数列那个所谓的基础知识更本质呢？你看嘛，你想等差数列的本质是什么？是不是就是等差呀？你看当an是等差数列的时候an-an-1是不是等于an-1-an-2一直等等等下去等到a2-a一，它们都等于公差d。好，那我们数一下，这里一共有多少个黄色的块呢？是不是n- 1个啊？所以很很显然嘛，等差数列它的通项公式，我们就直接通过这个公式来推导出来，它就是n- 1 d+a一。好，这是第一个公式，那么第二个是不是累乘法揭示一个本质啊？如果我要用累乘法求an的话，是不是同样遵循一个展开逻辑？怎么展开呢？它是不是等于an÷an- 1乘？an- 1÷an- 2一直乘乘乘下去啊a2÷a一再乘以a1对吧？当这个公式处在一个特殊情况的时候，才是等比数列是什么特殊情况呢？是不是就是这个比值等于它等于它全部都等于一个常数q啊？那一共有多少个q呢？是不是n- 1个q啊？
　　所以就等于q的n- 1次乘以a1，这个是等比数列的本质啊。但是这两个公式，我为什么说它最本质？因为它的用途远远不止于帮你记住这个等差等比的公式。其他的题目都可以用它来做出来，比如说我们来讲第一道题，我把这个公式给它擦掉了。因为我等一下会反复反复的强调对了，我先补充一点。你们注意看这两个公式，它存在的条件是什么？是不都是n大于等于二啊诶，所以这个是一个细节，大家一定要记清楚好，我们先看第一题。这些题都太简单了，我说实话，我讲这些题我都是有点嫌弃的，但是为了照顾后面的同学，我还是要讲的慢一点，从第二节课开始，我们就讲的越来越。越来越新奇，然后第三节课等等我们就开始运算轰炸了，现在先不着急，我们先看第一题已知an+1=an加上这个东西，让我们求an它的通项公式。我们想一想，到底是用累加还是累升？
　　你看这里是不是有个加号？所以当然是用累加法了，对吧？那有没有累加法？我们回顾一下刚才的公式是什么？当n大于等于二的时候。an是不是等于an-an- 1？is+an-1-an-2。也就再默写一遍嘛a2-a一，加上a1a等于多少a1？是不是等于一呀？再加一好。那么这个东西怎么表示出来呢？诶，那就是根据我们的这个式子了，对吧？那么我们把这个an给它移到左边来，是不是就得到了an+1-an等于？二÷n^2加n了，对吧？那么我把它化简一下，就是n×n+1对吧？好，那么这个东西。我们是不是把这个n变成n- 1就可以了，所以我们就得到an-an- 1等于什么an？等于二，除以。n- 1×n。但是我们要注意，我们是要把它全部加起来，那怎么办呢？诶，是不是就是要把这个分开来呀？肯定是列项求和嘛，这个是一个非常非常基础的列项了啊。如果你连这个列项都没有听说过，那你就先记住它等于二。n减一分之一，减去n分之一，注意啊，是n大于等于二好，那我们把这个东西全部带到这个式子里面，也就说带到这里，这里这里那么就可以求出来，这个题太简单了，等于。二。n减一减n分之一，然后呢？再加上n减二减n减一分之一，然后最后一项呢？它是什么呀？是不是n等于一n等于二的时候啊？对吧？这个式子n取二是不是就是一减二分之一对吧？然后再加个一好，我们看一看。这个是不是可以跟它消掉？那么根据规律，这个东西也可以消掉好，我们就得到二乘以一减n分之一加一等于三减。n分之二好，这个题就做完了，所以an等于三减n分之二。这非常非常非常简单啊，我们看第二题哇，这个过程都擦掉了。第二题肯定是用累乘法嘛，因为你看an+1和an之间关系是什么？是不是一个分式啊？那那明显就是累乘法好，那么是不是an+1÷an它等于什么？是不是等于n÷n+1了？对吧？
　　那么，累乘法的公式是什么呢？当n大于等于二的时候。an=an÷an- 1乘，以an- 1除，以an- 2乘乘乘，然后一直乘到a2除，以a1再乘，以a1a1是是不是等于二啊好？n=2好，那我们把这个式子给它代进去，根据这个式子，我们推导出来什么呢？是不是an÷an- 1就把n换成n- 1嘛？他们换的就是n- 1÷n好，我们把它代进来就是n- 1÷n。然后再乘以n- 2 n- 1，然后呢就是n- 3了是吗？n- 2。然后一直乘到最后a二除以a一等于多少？是不是这个式子n带二啊？一分之二乘以二那么前面那一项是什么呢？是不是三分之二对吧？好，这里约分约分约分约分。这里又约掉，所以an就等于n分之二。好，我刚刚设下了一个陷阱，其实我刚刚的第一题没有讲完整，我问你，我们先讲第二题啊，我们现在再讲第二题，我问你现在已经做完了吗？错，如果你不检验n=1的情况，你是会扣分的。我们我们就以第二题为例嘛，我们是不是算出来了n大于等于二的时候an等于n分之二呢，对吧？那么a1=2是不是也适合上面这个式子？是需要单独验证的，所以我们这样才能说an的通项公式求出来。an等于n分之二，那么第一第一个也是一样，我们刚才没有验证啊，所以大家一定要注意n等于一是要单独验证的。至于什么时候单独验证呢？就是我们在运算的时候是有n大于等于二这个条件，那么就一定要对这个n=1最后的情况下单独验证好吧？好，这是前面两道题。我们再看第三道。第三道是不是也是用累加法对吧？很显然嘛，这里也是加号嘛，问题就是我们能不能对这个东西求和的问题诶，这是这这就是我要进行一个推广的小东西了。好，我们慢慢来，先不急，我们先把这个题看完。它同样的道理，我们把an移过来，是不是an+1-an=2的n次对吧？那么n大于等于二的时候。an是不是等于an-an-1+an-1-an-2一直加加加？加到最后是不是a2-a一，然后加a1对吧？好，那么这个式子是什么？是不是二的n-1次啊？诶二的n-1那么这个呢？是不是二的n-2我们逐一的带进去就可以了？加加加到最后一个a2-a一是不是二的一次啊？
　　a1呢等于一诶，你会发现这个是等比数列的前n项和那么根据等比数列的公式，它是不是一共有n项啊？这个一可以并进来对吧？它根据等比数列求和公式，它就是。首项乘以q的n次减一再除以q- 1，所以这个答案就是二的n次减一，那么n=1的时候是不是也适合这个式子啊？所以这个第三题也做好了。它等于二的n- 1。讲到这里，我们做一个小小的总结，你看。我们怎么样对累加法进行一个抽象的认识呢？
　　我们看是不是只要题目，比如说我这么出啊an+1等于比如说an+n^2。我这么粗，你能不能把这个题做出来诶？也是可以的。怎么做呢？是不是一一个道理啊？是不是我只要对一方加二方，一直加到n方，我只要会求这个和。那么，这个通项公式是不是就可以求出来了？对吧？好，那么我再换一换，我这个擦掉啊，那我弄弄得再夸张一点。我把这个弄成n的三次方呢。什么情况下，他能把这个通项求出来，是不是当我们能求出一的三次加二的三次一直加到n的三次方，这个和的时候？这个通项是不是就可以求出来了，对吧？好，所以能不能用累加法求出来这个通项公式，取决于我们能不能求出这一个项？它的和也就是说就回到我们刚才的本质了嘛，也就是说我们能不能求出减去减一这个数列的前n项和我们能不能有效的把这个前n项表达出来才是？能否用累加法求出一个通项公式的本质。
　　好，我们刚才顺便讲了这个n的三次方n的三次方这些东西，它这个求和的东西，我对此我再补充一条基础知识。就是你必须要知道的数列求和知识好，你把这两个公式给它记住就可以了，第一个公式公式一。拿出笔记本，把这记下来。一方加二方，一直加到n方，等于六分之n乘以n加一乘，以二n加一，这是你要记的第一个公式，这些都是非常非常非常基础的知识点。
　　你不记住就是傻子，傻子都知道这是太基础的东西了。一定不要在知识。比别人差，我们考的是能力嘛，你连知识都比不过你还拼什么呢？这是第一个公式，那么第二个公式公式二你也是一定要记住的，也就是说一的三次方加二的三次方。一直加到n的三次方。注意，这里有个非常巧妙的东西，它是等于一+2一直加加到n的平方的，也就是说里面是不是等差数列求和啊？这是一个巧合啊。
　　你们可以稍微你们，你们可以记住的，它等于二分之n乘以n加一括号的平方，这要记住的啊，那么有些人会问我一的四次加二的四次一直加n的四次，那个怎么求呢？那个也是可以求出来的，但是高考不要求高考，只要求上面的两个东西，这就很够了。好注意啊，我顺便。给大家拓展一下，也就说你如果是高考要求的话，你记住这两个公式就可以了，那么有时候还会遇到一些数列题，比如说。他这个题是这样子的，我也出过这种很多题，就比如说已知数列an满足a1。的三次加a2的三次一直加到an的三次等于SN的平方恒成立。然后让你求an的通项公式，然后这个作为那个大题的第一问，然后第二问就是什么什么放什么乱七八糟的东西，其实这个东西求出来答案就是这个。就是an=n你们可以留心一下。如果你们你们应该会应该会刷这种题的，在以后的高三一年当中一定会刷到类似的模拟题的。至于这个怎么求呢？我们等一下讲好，我们先看下一题，我们是对上面的一些题目进行补充的，也就说对上面这三道题进行补充。那帮助大家更加理解一下，累加累成本质好，我们看这个第四题。诶，你会发现an加一等于n分之n加二了，我们上面是不是n和n加一呀？对吧？那n加二呢？能不能也用累乘法呢？也是可以的。万变不离其宗嘛，我们用刚才的公式就可以了，你们看。是不是我把它变形一下，是不是an+1÷an等于什么n+2÷n？那么，把它变一下，就是an÷an- 1=n+1÷n- 1嘛，注意n大于等于二啊，好那么？我们要求an的通项公式是不是直接带进去啊？当n大于等于二的时候an=an- 1除以。不是an- 1啊，是an我写错了，除以an- 1×an- 1÷an- 2乘以一直乘乘下去啊但。我这次要多写一点，因为它是有加二，所以它我要看出什么消元的东西啊，我们就要写多一点才好看，对吧？an+2÷an- 3一直乘的乘a3÷a2a二÷a一，然后再乘以a1好。这个东西我把它带进来，看看能不能消n+1 n- 1n？n减。n- 2是n- 2，因为它隔两项嘛n- 2，然后这里是n- 1，然后n- 3诶，你会发现从这一项开始。它才有什么n- 1出现，你看这个东西可以跟这个消嘛诶，所以说它隔两项就要它这个消元呢，就会隔得远一点好，我们继续存存下去。你会发现下一项其实就是什么减二除以减四嘛，但我先写出来吧，好那么三除以二是什么？我们看一下这个式子是不是取等于三啊？那就是二分之四，然后这里呢是一分之三。然后再乘以a1=4好，那么你看。这个三跟谁消呢？我们可以继续往前嘛，是不是就这里是三分之五啊诶？那这里是个乘号，还有一个省略号，我就不写了，那么这个怎么消呢？是不是n减一n减一n减二n减二？然后n减三可能跟这个相诶，这样是不是消完了？对吧好，所以这个式子就等于二分之n乘以n加一乘以四an就等于二n。n+1诶，你会发现隔两项它也是算的出来的，那么这是n大于等于二的情况，那么a1=4是否适合这个式子呢？四也是适合的，所以这个题就做完了an就等于2n。n+1，我们等一下总结，我们先再看一看，如果它隔三项呢诶，就这道题了，我们看一看隔三项的做出来又是什么样？我把这个给它擦掉啊。好。格三价是不是也是同样道理？还是用刚才讲的那个最本质的公式啊，对吧？an我再写一遍啊，当n大于等于二的时候an等于。an÷an- 1乘，以an- 1除，以an- 2。
　　然后我们这次因为它隔三项说明我们要看出消元的可能性，是不是要写出更多的式子了，对吧？好，那就是n- 2 an- 3，我再写多一点an- 3÷an- 4，一直乘乘下去。那就是a4÷a3a三÷a2a二÷a一，然后再乘以a1好。那我把它带进去，首先这个先变形一下，是不是an+1÷an=n+3÷n对吧？那我把它n变成n- 1就是an÷an- 1就等于。n+2÷n- 1好把它带进来，那就等于。
　　n+2 n- 1 n+1 n- 2 nn- 3，那么下一个是不是就可以出现下面的可能了诶？你看是不是这里也出现n- 1了，对吧？好，那我继续写n减四，我们乘到这乘乘到最后，那么这个三分之四，它等于什么呢？我们把这个式子看一看，它是不是n等于四代进去，对吧？那就是。六除以三二五四一那么a1=4好，那是不是我们就习惯了这个东西跟这个笑，这个东西跟它笑，这个跟它笑？这个跟格一样的小好，那我就得到了，是不是我顺便这里也弄成一个二，所以答案是不是三分之二n加一？n+2对吧？好，我们再看一看a1=4是否也适合这个式子呢？哎，也是适合的。所以这个题弘扬公司也求出来了，我少写一个n啊。就是an等于三分之二n乘以n加一n加二好，我们来总结一下你们看。
　　当它隔两项的时候，它算出来是不是一个二次函数啊？那么隔三项呢？它多成了一个就变成了一个三次函数好，这究竟是？有没有一个更方便的求法呢？也就是说我通过这些题目告诉大家都可以用累乘法来做，有没有更方便降维打击的方法呢？我们下节课，我们会把这些题重新做一遍，给大家一个更震撼性的方法。好，这题目你累成肯定是可以求出来的，就是要消元嘛，而且还要讨论什么n大于等于二，其实有有个好的方法，我我先埋个雷。下节课继续讲好。接下来呢，我为了给大家更加巩固一下累加累乘，我选了两道稍微骚一点的题。就现在新高考啊，它非要强调包装两个字包装啊。就是把这个题呢，包装的骚一点，穿一些很骚的衣服没有没有就几乎没有什么题目会像这样子啊。像像我给出的这两道题，还有上面的这几道题，这些题是裸体的，没意思。
　　有意思就要穿的骚一点好，我们看第六题啊，什么什么叫包装呢？就是你不一定看出来这个题哦，那么显然它就是有那种方法是需要不断的训练，扒衣服的能力的。我们看第六题啊。已知数列an当中a2=2，然后当n大于等于三的时候，它乘等它乘那个等差数列直接写出来了，等差数列什么意思啊？是不是它乘它乘以二等于它们两个相加，对吧？直接给它写出来嘛？条件是什么？
　　是不是当n大于等于三的时候？an=an- 1+an- 2恒成立呀诶，我们会发现它是一个菲波那契数列啊，这个不重要，跟这个题。你知不知道这个数列名字根本就没有关系，我们关心的是这个东西怎么求和？哎，大家一定要注意啊。凡是数列当中板块涉及到的东西。求和有哪些方法呢？就肯定要消掉嘛，或者要么求和就是根据，比如说我刚才讲的什么一的平方加n的平方等于六分之n乘n加一二n加一，它是有个公式，它有个求和公式的叫什么等差等比它都有个公式来求和。那么，另外一些求和那只能列项了？只能消元嘛，就不是消元就是香消，那样才能才能把它求和求出来，那这个题怎么办呢？那也是用我们类似于刚才的思想累加法的好，我们来仔细分析分析啊。你看我们根据这个式子是不是可以知道数列中的任意一项等于前两项之和，那么我们会发现我们要求和的话，怎么能通过和来求呢？肯定是通过差嘛，就比如说我们刚才讲的本质的东西是不是an=an-n- 1加这个东西啊？是不是里面有差呀？
　　你看这个减和一个加才能消掉嘛？对吧，所以这道题第一个思路就是我们要对它进行求和，是不是要制造减法，对吧？那么这个东西其实可以得出两个东西，你看。一第一个东西是an- 1=an-an- 2，第二个东西是什么an- 2=an-an- 1，你们观察一下这两个东西。哪个可以放到这里面求和？我们都试一试嘛诶，你会发现我直接告诉大家答案了，不试了，浪费时间，就是这个东西能求和诶，为什么呢？我们带你去看一看。由这个式子，我们是不是可以得到什么a3？是不是等于a4-a二？那么a5呢？是不是a6-a四啊？那么a7呢？是不是a8-a六对吧？你会发现你看a4a4。a6a6是不是都可以消掉啊？对吧好，所以这个就是第一个方案，这个这这个你只要稍微想一想就能想出来的，所以我们就得到什么？a二零二一加a二零二零一直接着加，加到a三，它等于什么？a二零二二减a二零二零。我写错了。这里不是a二零二零，是a二零一九啊，因为它是奇数嘛，对吧？然后再加上a二零二零减去a二零一八一直加加加。加到最后就是a六减a四加a四减a二。然后呢，最后一项a2哎，你会发现这里消消消。
　　是不是都下掉了，对吧？好，那么这个东西我们就做出来了哦，这里最后一项没有a2啊，因为我们刚才犯了那个毛病。所以这个答案就是a二零二二减去a二，所以就等于k减二答案就选择d。这个题我做完了。你不知道大家有没有发现一个东西，这个题是我精心为大家准备的，是刚好刚好对应了，刚才我讲的那个公式。你们看一看这个题，跟那个公式是不是非常像啊？
　　对吧？我那个公式是不是an=an-an- 1？加上。是不这个东西啊，一直加加到a2-a一+a一。你看an和an- 1是隔一项的对吧？那么这个题呢？哎，非常巧妙啊，它是不是隔两项都隔两项隔两项，然后呢？把偶数项所有的集在一起，然后。诶，你们要注意体会啊，这是我精心选的题，还有点骚了，好好，我们看第二题。我们看第二题，我把这个擦掉了，一定要做好笔记。第七题。若数列an满足a1=1这个东西啊，这个是不是太简单了呀？我刚才。只讲了。那个什么累加法的那个本质是不是an+1=an，比如说我加一个fn，只要fn可以求和求和可以表示的出来，是不是都可以用累加法？那么类比到累乘法是不是也是一样？如果an+1等于比如说gn吧乘以an如果。gn它的前n项积可以求得出来，那是那这个数列是不是也可以通过累乘法把它算出来对吧诶，所以还是非常巧妙的，我在不断的给大家慢慢的。慢慢深入，慢慢登堂入室这个题。这是非常典型的，它的gn是不是等于二的n次啊？对吧？那么二的n次它乘起来是不是可以乘的呀？那这个题当然就可以用累乘法来做了。非常简，非常就一定要你们一定要理解本质啊，你看an+1÷an是不是等于二的n次对吧？那么根据那个公式，我们要的是an÷an- 1，它等于二的n- 1次。那么n大于等于二的时候，一定要注意这个点，一定要小心啊，处处要小心，那么an就等于an除以。an- 1×an- 1 an- 2一直乘a2÷a一再乘以a1。这个东西是不是二的n- 1次这个呢？是不是二的n- 2次一直加加加不是加不是加是乘？一直乘乘到二的二减一，这是一那么a一呢？
　　是不是等于一呀？对吧？好，它们是乘法，我把这个乘变加。是不是二的一+2+3，一直加加加到n- 1对吧诶？是不是又变成一个等差数列求和了，所以就是二首先加末项乘项数除以二就是。n×n减，一÷2注。意n大于等于二，那么。a一是不是还要单独验证啊？对吧？
　　a一等于一是不是适合这个式子的？当然适合，因为二的零次嘛，所以这个题答案就求出来了，是二的二分之n乘n减一次。我希望你们做这么几道题，有悟性的人做几道题就反应过来了，能学会其中的精髓。好下一题。下一题呢，是累加累乘进阶就是这些题啊，这这这几页的题是一些进阶版的累加累乘，然后呢，我再通过其他的一些包装手法，比如说分式啊。
　　什么求导数啊，等等，为了就是让大家理解彻底理解这些基础知识点了，我我刚刚说了这个题在我眼里都非常简单，但是我还要给你们。细致细致的过一遍，不多说，我们看它说根号an减去根号an- 1=2n大于等于二，然后让我们求an的通项公式等于多少？首先，我们很显然。这个根号an跟an是不？我只要求的这个根号an的通项公式an是不是它平方一下就可以了？对吧？那么根号an。
　　怎么求呢？你看这是不是等于二啊？我们耐心一点啊，有些人说它是等差数列，那我们直接直接答案就出来了，根号等于减一乘以公差。然后加个一=2 n- 1，所以这个答案2 n- 1就求出来了，2 n- 1^2就求出来，这样做可以，但是。呃，我还是希望大家理解一下这本质的累加法，这个本质啊。那么，更本质的方法就是我稍微写麻烦一点，就是根号an它等于什么就累加法嘛，我们再熟练一下这个公式，加上根号an- 1减去根号an- 2一直加加加。到。根号a2减根号a1。加根号一注意啊，你你大家不要手滑啊，这里不要选择a1了，你虽然写成a1也是对的，因为a=1，但是一定要养成细心的习惯。我们刚开始还是慢慢来啊嗯，熟悉一下这个公式，你看所有这些是不是都等于二了，其实也是等差数列的本质嘛，你直接再等差数列也可以，但是我还是希望一开始你们理解一下基础知识。数一下这里一个两个三是不是一共n- 1个就是二×n- 1+1=2 n- 1，所以这个就求出来了。你们要思考一下它的本质是什么？我还是希望强调一些本质的东西，我先忍住啊，我先把下面下面这道题讲了先。你们看呃，我们先看下一题啊。若这个东西啊，让我们求an。你你你看到这个，你想到什么？
　　是不是很想把这个东西给它移过来？因为这个分式是没法处理的，移过来是不是就可以变成平方差公式了？对吧？是不是an+1^2-an^2等于一了？然后我是不是可以求出an方的通项公式了，因为。它的方式等差数列啊。然后an又大于零，是不是开个方就可以了？对吧？那么an方它它通通过怎么求呢？当然你可以通过什么呃等差数列的公式，你直接得出an方等于n那么如果你想。你想再练一下，我刚才那个公式，你也可以写一遍那个公式嘛，当大于等于二的时候，方等于方减去减一方。一直加，加到最后我不写了，反正求出来是这个东西方等于n，所以这个答案就等于根号n好这两道题，我想跟大家说一件什么事情呢？我想跟大家说一个更推广的事情，也就是说。你要求an的通项公式可以通过求根号an这个数列通项公式来实现，可以通过求an方。这个数列的通项公式来实现，甚至我们推广一点，是不是只要求出一个fan的一个通项公式？是不是都可以都可以给它解出来？an等于多少对吧？我可以完全变一变嘛，我说an的。比如说嘛，我说an的N次方，我是不是求出an的N次方的通项公式是不是就可以求出an的公式了，对吧？比如说我求出来an的N次方等于n等于n，那么an的通项公式是什么呢？是不是n的n分之一啊？对吧？这个是一个道理啊，那么如果我真的要出这种题，那是不是就把它变成什么an的an的什么？an+1的n+1次减去an的n次等于一。甚至我可以更更贱一点，我令它等于什么？我令它等于比如说n方，我刚才讲过的诶，那如果我给这个条件，你能不能求出an的抽样公式呢？也是可以的，肯定可以的，这这这非常简单嘛，我就不讲了。还是讲一下吧，满足一下大家好奇心，就我给出这个条件了，大家怎么做呢？哼！很显然嘛，我先求出跟an有关式子的通项公式，比如说an的N次方，它等于什么？an的n次减去an- 1的n- 1次。然后呢？加加加到a2的平方，减去a1的一次，然后再加a1=1好，那么这个东西。它是不是就等于n- 1^2了，一直加到n- 2^2，然后这个东西是什么呢？
　　是不是a1的平方啊？是不是一的平方再加一好前面这个东西带我刚才讲过的？公式是不是六分之n乘n加一乘二n加一啊？对吧？那么这里是不是n减一？好那么n- 1把那个n变n- 1就好了嘛，就是再回顾一下啊。你们再看一看这个公式。我把这个公式里面的n变成n- 1，就是我下面讲的这个东西。就是六分之n减一乘以n乘以二n减一，然后呢，再加个一，这个就是an的。N次方的通项公式了，那么an的通项公式。注意，这是n大于等于二啊。那么a一是否适合这个式子？哎，也是适合的，你看嘛，这个是不是等于零了a一等于一的时候，所以我就求出an的通项公式是什么？是它的n分之一。是不是也可以求出来呀？所以你只要掌握最核心的思想，这都是一样的，都是一样的好。也就说好，我们现在前面两个题，它的思想我已经讲完了，我们再看下面一道题，还有更更多的东西要分享给大家。下面这个。若an+1=2 an，除以二+an，然后让我们求an诶，你会发现这个时候它就变成一个纯分式了。这个分式怎么处理呢？如果你没学过的话。一定要记住我下面讲的三个字。胰岛素。注意啊，我我编的所有的讲义都是非常非常有设计感的，我这里讲了起草书的方法。下面有题目会与之对应，然后明天的课也会与之非常非常多对应的东西，我任何一任何一个题目选过来都是我要做的一些伏笔啊。那么这这道题你一定要好好听，不然你后面一直都听不懂啊。你记住三个字，起倒数。只有取倒数才能出现我们常规的可累加可累乘的一大堆东西，好，我们试一试。原式是不是an+1=2 an÷2+an对吧？好，我们取导数之后会发现什么呢？这边起导数是不是an加一分之一啊？
　　那么这边呢？是不是二加an除以二an对吧好？我把这个东西给它拆开。你看它是不是等于二除以二an，我写慢一点啊，加上二分之一对吧？就等于an分之一加二分之一诶，你会发现起导数之后它就可以拆开来了。你会发现这个式子。是不是就说明了an分之一是一个等差数列啊，那么an分之一同样公式是不是就就可以求出来了？那an是an分之一，是跟an有关的式子嘛，它通项公式求出来之后，我再弄个分之一，是不是就是an的通项公式，所以这个题一下子做好了？为什么我起导数呢？诶，你因为你会发现它的分子只有单项分子，只有单项，所以我才可以把。这个步骤反通分，把这个给它拆开来，所以才出现了什么等这个等差数列。这思想非常重要啊，当然不不止于这个东西啊，后面还有非常非常多的题。会会落实这个思想的，大家放心，这个题一定要记好了，好那么这个题其实已经做好了n加一分之一等于n分之一加二分之一，我们就得到n分之一是一个公差为。二分之一的等差数列，所以我们就得到根据这个等差数列公式a二分之一是不是等于n减一d？加上首项，首项是a一吗？不是非常容易做错啊，是a一分之一，虽然它们都是一啊，等于二分之n加一，所以。an就等于n加一分之二，所以这个题就做完了。它等于n加一分之二。
　　下一题我们都是为了巩固刚才我讲的这个起到式思想，我们看第九题a1=1，然后他说n大于等于二的时候an等于它。诶，是不是也会发现它也是一个分子单项啊？对吧？我先总结一点啊，什么时候取导数？你记住一点。当分子单项的时候，分子。单项。很大概率都要起导数，也就说它是一个分式，然后分子它是单向的它它。
　　基本上我看到的题很多题都是要起导数的，一下就豁然开朗了，因为起导数之后它可以反通分，然后反通分之后就可以看出什么呃累加等等各种性质。我们直接看题。这个式子我们给它起导数之后，你看是不是an分之一等于二an减一加一除以这个an减一了，是不是也是一样的，就是an减一加二嘛？所以我也得出了这个an分之一，它是不是等差数列啊？对吧？然后d呢是等于二的，所以我就求出an分之一等于d乘以n减一。然后再加个一，它是等于2 n- 2+1就是2 n+2 n- 1嘛，对吧？那么。那么这个题就做完了，所以an等于二n减一分之一跟上面那题非常像，几乎一模一样的。好，我现在把这个擦掉。我们看第四题也第十题啊，也是一样的a等于二，然后这个式子是不是也满足这个什么分子单项这个条件也起导数嘛，那就是an分之一等于。二an减一，然后an减一加二，把它拆成是不是二分之一加上an减一跟上面那个题也是一样的，只不过首项把它变了一下嘛，那所以就得到。分之一等于二，分之减一就是减一乘以嘛，等于二分之一，然后再加一分之一，对了，这里如果你写成一，如果你写成二的话，这个题就完全错了啊。它就等于二分之n，所以an它就等于n分之二。这题就做完了，有些同学有些同学可能会问啊，这里有没有必要验证a1呢？
　　就首先有没有必要验证的，其实是没有必要的，因为我这里用的不是累加法，而是直接用了等差数列的性质。所以就没有必要验证a1了。也就是说，虽然它这里说了n大于等于2n，大n大于等于二，那这里它不是n大于等于二的，因为我用的是等差数列的公式。这里直接是从一开始全部都适用的好，这里我只是补充一点，那么起倒数这个思想呢，我们暂时讲到这里，我们在这节课的最后两道题。
　　还会提及的，这只是我埋的第一个伏笔而已，好，那我们看第11题。已知在数列an中a1=1，且an不等于零，然后有这个式子再求an好，这里又是我埋的。下一个。最初服务的。什么意思呢？这个题用的方法是同除法。就两边同时除以一个东西。你看根据观察嘛，你看这个式子怎么来处理，你看如果你就这样愣着看的话，当然是没有任何反应的。我我跟大家说，你试一试两边同时除以an an+1诶，这个时候你这个题基本上做完了。你看，除了之后，你会发现左边是就变成了an+1-an÷an an+1了，对吧？右边等于2an an+1。除掉之后就只剩二了。好，那左边是不是就变成了an分之一，减去an加一分之一等于二了，对吧？
　　所以an分之一是不是又是等差数列啊？它的公公差等于多少呢？是不是等于二错了？是等于负二，因为这里是反过来写的，我们看公差公差d它是等于an加一分之一减去an分之一的，不是n减去n加一啊。所以d=- 2，那么这个题基本上就做完了，所以。注意，这里没有n大于等于二啊，没有这个n大于等于二a分之一，直接带那个等差数列的性质就是负二乘以n减一，加上首项首项是不是一呀？
　　所以我们就得到是负二n是三减二n。没错吧，负2 n+2+1没错。所以那我把它倒过来，就是最终答案了，所以an等于三减二n分之一。这个就是这道题答案。下一题，接下来我们要讲的是关于SN的一系列数列基础知识啊。我讲这些基础知识呢，总是有点嫌弃，但是大家不要紧，你们把这些基础知识过一遍就好了。关于SN的一些事情呢，核心就逃不掉一个东西。
　　一个公式就是sn-sn- 1=ann大于等于二。就是关于一些基础知识的问题啊，你只要记住这个东西就可以了，接下来我就是为了大家强。强化这个公式来补一下这个基础知识的漏洞，好那么直接第直接看第一题吧，怎么用求出呢？那就用我这个公式嘛。它会告诉你SN=-n^2加n了，怎么求an呢？是不是当n大于等于二的时候an=sn-sn- 1？它等于什么？我把这个代进来不就好了吗？负n方加n减去。负的n- 1^2。
　　加n- 1把它带进来就好了嘛，等于就它跟它减它跟它减。就是负的。我们直接口算吧，它是不是等于负的n方减去2 n+1呀？对吧？那这里是负的n方。这里拆开呢，就变成加号了，直接写了。这里加n-n- 1就是等于加一。好，那么这个式子就变成了二减二n。所以我就得出来ann大于等于二的时候an是等于二减二n好，那n等于一的时候呢，是不是n等于一的时候a一就等于什么就等于s一直接的这个公式嘛，等于负一方加一。等于零，所以它也是适合这个式子的，所以第一道题我们就做完了an=2-2n。第13题已知数列an满足它等于2 n- 1×3的n次，然后让我们求an等于多少？这里就稍微变了一下，你们注意看，我把这个擦掉就行。你们注意看一个点这个东西，它是什么？它没有像上面那道题那么露骨的，给出an的通an的这个SN通常公式是多少？然后让你直接减来求出它，它变了一个花样，你看。前面这个东西是不是数列nan的通项公式？那个前项和对吧？这很显然嘛，如果你再如果你真的看不出来你基础非常差，那我跟你说的更详细一点，我另。BN=nan，那么左边是不是就是b 1+b二一直加到BN啦？那左边就是BN的前n项和就是这个数列前n项和嘛，那么我都知道BN数列的前n项和它的公式是等于它了，那我怎么求BN呢？是不是sn-sn- 1嘛？对吧？
　　我把BN的框架公式求出来了，那an就除个n的事儿嘛好。所以我先求出BN当n大于等于二的时候BN是不是等于SN÷sn- 1对吧？就是2 n- 1×3的n次减去。二减三乘以三的减一次，这怎么求呢？当然是把这个三的次拆成三乘以三的减一次了。就是三的减一次，然后把它提出来了，就是三×2-1-2。减三。这个东西等于什么？是不是就4n呐？等于4n×3的n- 1次。这是n大于等于二的情况，那么n=1的时候呢？b1是不是等于a1是不是就等于s1啊？等于这个式子n取一的时候是不是就等于三啊？你看是不是适合这个式子？是不是不适合啊？不适合，所以就分开求了。所以这个是分开的，所以一定要验证n=1的情况，所以我就求出BN的通项公式是什么？他是。4n×3的n- 1次n大于等于二，然后一的时候呢，它就等于3 n=1，那么我要求的an的抽样公式是不是除了n就好了呀？
　　一的时候呢，还是一三n=1，然后下面呢，除以n是不是四×3 n- 1次对吧？n大于等于二，所以这个题就做完了。13题和14题是一样的，为什么我说一样呢？也是我刚才埋了一个小伏笔呀，就是你要求出an的通项公式，是不是只要求出关于an的式子fan的通项公式？就可以了，那么我这里讲的是SN，是不是我们换个道理，我只要知道fn的SN是多少，我就可以求出fn的通项公式，从而就可以求出n的通项公式，对吧？那么，在这一道题呢？fan是不是等于nan啊？就这个BN嘛，那么在这个14题，它是不是就等于根号an了，对吧？你看嘛，前面这个是不是？数列根号的前n的前n项和根据数列an根根据这个数列根号an的前n项和是不是就通过这个公式可以求出根号an的通项公式啊？那么在平方不就是an通项公式了吗？一个道理啊，一个道理，我讲快点。我把这这擦掉吧。是不是当n大于等于二的时候，根号an等于它取n？减去它取n- 1。然后这个口算一下嘛，就是2 n- 1，这个减这个是等于2 n- 1嘛，然后是不是再加个三啊？就等于2 n+2，所以an就等于什么？注意，我还没有验证n=1啊，还是要验证一下的n=1的时候根号a1是不是等于四啊？
　　对吧？也是符合这个式子的嘛，所以n就等于2 n+2括号的平方，这个题做完了。还是要理解我刚才的思想就是fan的思想fan就是与an有关的式子，你只要求出求出跟它有关的一切，那an就可以求出来了，就这个思想。也就是说，这道题我把它改成把它改成，比如说an的二分之三次。它的前项等于n方加三，那an的通项公式是不是也可以抽出来一个道理啊？我懒得举例了。你们一定要思考啊，一定要思考下一题。诶，这道题。又稍微骚了一点。首先这道题，它是要求an的通项公式，那我换个思路，我们刚才的思路是不是都是我给出了SN的通项公式了？这个s这个是不是SN同样的公式？这个是不是这个是不是都是嘛？我是已知SN等于多少，然后再通过。sn-sn- 1=an来求出an同样公式的，也就是说我再说一句啊，十二十三十四三道题都是什么意思呢？
　　已知s。n然后求出fan，然后再求出an是这个逻辑好，那么这道题呢？是不是我连SN都不告诉你了？SN，你要求对吧？所以这道题的第一步是不是先求SN呢？然后再通过sn-sn- 1，然后再求出an对吧？诶，这个题又更近了一步，所以我们再把思路。放一放，我们怎么根据这个递推式求出数列SN，它的通项公式呢？哎，这这里就又有讲究了，我先把这个式子给大家写一下n- 1 SN=nsn- 1，加上n方减n。这事怎么办？你观察一下，你观察一下，观察个三分钟暂停视频，观察个三分钟三分钟时间到，你就继续看。好，那okay，那我现在告诉大家答案，就是我把它变一变，我把它变成这样子。n×n- 1，你看。是不是又是我刚才埋下的伏笔啊？同除法。你把两边同时除以n×n- 1，你发现什么？SN，除以n。是不是等于sn- 1除，以n- 1再加个一对吧诶，这个时候你会发现这两个式子结构是不是一样的，所以我令BN=SN÷n。我就得到BN=bn- 1+1，所以数列BN是不是？
　　等差数列。对吧，所以这个时候我就可以求出BN的通项公式了，BN的通项公式BN是不是又跟SN有关啊？那这个时候我是不是又可以求出SN的通项公式了，然后是不是又可以通过？这个公式那是不是就可以求出m同样公式啊？这个题就做完了嘛，你看这个思路就非常显然，最关键的还是你想到这个同除法这个题就做完了嘛。好，那么我们来填一下这个空啊BN等于多少呢？我们看b1等于什么b1？是不是s1÷1啊a1？是不是等于三啊？
　　所以b1=3。所以BN就等于n+2那么SN呢SN是不是就是n×n+2了，对吧？好那么又变到了已知SN求an的这种情况。那那就分类嘛n大于等于二的时候an=sn-sn- 1=n×n+2。减去n- 1乘以呃n+1，我们把它算一下嘛n方加2 n-n^2减一就是2 n+1嘛，然后a1=3是不是也适合这个式子啊？所以这个题做完了。an同样公式等于2 n+1，做完了下一题。就是我我我举的伏笔啊，这这这同书法，我们后面还会讲很多很多这种题的。g数列an这个东西好。
　　接下来你看到的这几道题，也是关于SN的，但是我把它又变了一种说法，接下来你会看到的是。an与SN的关系题。注意！这在数列大题第一问非常非常常见啊！现在高考都考烂了，如果你连这个都不会，你还新高考考的起来吗？这种题怎么做呢？记住，只要是这种题，永远记住我的思路，再写一遍。
　　记住四个字，再写一遍。什么再写一遍呢？你听我讲就是了，你先记住这四个字。只要是有an与SN的关系问题，都再写一遍。比如说这个题。tn是不是？数列an的前n项和对吧？那我要求数列an通项公式怎么办呢？是不是an=tn- 1我再写一个？是把n变成n+1，这个就叫再写一个，把n变成n+1，就是an+1=tn，然后对它进行做差，我是不是就得到an+1-an等于？tn-tn- 1啊，这个东西等于什么？是不是就等于an啊？所以就得到an+1=2 an注意n大于等于二。我们先回扣一下，我们刚才讲的东西，什么叫再写一遍？就是说你看到了一个。比如说数列大题的第一问。它给了你一个既含an又含SN的一个式子，怎么样处理能得到an通项公式呢？再写一遍，把n变成n+1，然后把这两个式子进行做差利用，我刚才讲的这个公式。是不是就可以把SN给它消掉了，这也是tn啊，消掉之后我们是不是就可以完全完全得到an+1和an之间的关系了，对吧诶，这样就可以通过它的递推关系求出an的通项公式了。好，反正反反正只要是这种题，你就再写一遍，当然有特例，我们之后讲你放心。好，那这个题就非常显然了，我们是不得到an+1=2 an了，有些人说哦，这个题就基本上做完了，它是等比数列，然后就。q等于减一次乘以a1又错了又错了。这里是不是n大于等于二啊？也就是说a2=2a1，它是不一定成立，所以它不一定是等比数列，一定要小心啊，一定要小心。我们是不是还要单独验证一下这个是不是也成立呀？对吧？好，我们看一看a1是不是等于一那么a2是不是等于t1？t就是s1嘛s1是不是等于a1呀？也等于一，所以这个式子不成立的，所以数列an它不是等比数列，这里又有一个坑。好，那这个题a2=1的话，所以n大于等于二的时候是不是从二开始算了，所以an是不是等于q的n- 2次乘以a2？就等于二的n- 2次，然后n=1呢，不适合这个式子，所以16题的答案就是an等于。1 n=1，然后n大于等于二的时候呢。二的n- 2次。当然，如果你非常非常的奇葩，你也可以这样写an=1 n等于一二，然后二的n- 2n大于等于三，你写成这样也是对的，但是。没有几个奇葩会这么写啊。好，这是第16题，它是我从某一道大题截出来的。虽然你别说现在新高考啊，它会呃非常考验学生扒衣服的能力，但是你这种最朴实的题都不会做，你怎么去扒？好吧，好。这个是第16题，我们先讲到这，我们看第17题还是践行我刚才讲的东西。看到SN和an，这怎么办？是不是再写一个把n变成n+1啊？对吧？SN=2 an+nsn+1=2 an+1+n+1，然后做差。白色的消掉。它减它等于什么？是不是an+1啊？
　　对吧？等于2an+1-2an+1，我就得到an+1和an之间的关系是什么是？是不是an+1=2 an- 1？对吧，这个就得出an+1和an之间的递推关系了，这就可以求出an了。好，我我再强调一遍啊，我给大家一个，只要就。注意，我在之后的讲课中会有非常非常多的，只要就你要把这些只要就全部给我写在记写在笔记本上，全部记住，形成肢体反应。我之后会讲非常多，这道题只是讲第一个主要计划，只要看到an和e SN，你就再写一遍，然后做查好。讲完了，我们再回回过来讲这道题，我们看这个递推公式怎么样？求出通项公式呢？诶，这个就是我接下来要讲的另外一个基础知识了。它是待定系数法。我之后会讲啊，你看我这里都准备好了题目了，待定系数法求通差公式，那么这道题呢，只是我的一个伏笔。好，这个东西怎么求通项公式？记住，我又给大家一个子要求。只要这里是二只，要是这种形式的，比如说an+1=pan+q，只要是这种形式的递推。它就必然有公比为p的等比数列诶，我又给大家一个九幺九，你把这个一定要记好啊，那么呃，你先不要问为什么。我可以直接写出来给你看。至于怎么写呢？就用待定系数法。你看我已经深深的睹信他有公比维尔德比数列，那么具体是哪一个数列呢？是不是我给他待定一下对吧？我就比如说我令拉姆达。我假设。这个东西成立就如果我们求出了兰布达的话，那么是不是我们就得到一个an减去兰布达的公比为二等比数列了？那么兰布达等于什么呢？我们求一下嘛。我把这个给它化简一下，是不是就？
　　再把这个拉姆达给它移过来，是不是就是2 an减拉姆达对吧？an+1等于它，那么拉姆达是不是就等于一呀？因为它减一嘛，待定系数嘛，拉姆达就等于一。所以所以这个式子两边同时减去一，我就得到an+1-1=2an-1。恒成立，所以数列an- 1就是公比为二的等比数列，所以an- 1。什么它就等于。二的n-1次a1-1，那a1等于多少呢？
　　是不是这个式子令n=1呀？对吧？s1=2a1+a一是不是等于负一呀？负一减一，那就是负的二的n次，所以我就得出来了，an等于一减去二的n次，这个题就做完了。是不是很刺激啊？慢慢来，慢慢来，这个题就太简单了。下一个还是给大家强化SN和an之间关系啊。已知数列前项sn，然后给出了a2，然后ssn=an-1-1，然后然后求开方公式诶，这里又稍微变化了一下，我们之前的是sn与an之间的关系，那么这里又变成了。SN与n+1之间的关系，那么怎么求呢？方法是一样的，一样的。这个式子我们其实是可以求出a1的a1，等于多少？是不是就是a2-1啊？另外这个n=1代进去吗？a1=1我先写一下。那么，我要求同样公式也是一个求法，我再写一遍。sn=an+1-1，sn+1=an+2-1。然后进行落差，是不是就是an+1=an+2-an+1，所以我就得到an+2等于？2 an+1了。有的同学说诶，这里又是等比数列又错了，又错了，又是我埋的一个悬念。不是说错了，是你不严谨。这个式子是不是对n大于等于一的时候都成立啊？
　　那么这个东西是不是等价于an=an+1=2 an对n大于等于二都成立呢？是不是我刚才讲的那个题是一样的？哪个题？哦，我忘记了，反正刚才讲的那个题是不是一样的？但这个题呢，如果你草率下定它的等比数列，你答案不会错，因为是不是我求出来了a2和a1确实满足二倍关系的，所以这里就要。写大题过程的时候一定要写啊而。a2=2a1也适合上市，所以an是的公比为二的等比数列，那么an就等于二的n- 1次，你一定要这么写啊，不写肯定会扣分的，甚至一半分都没有，都有可能的。呃，如果像刚才讲的那道题一样呃，那你整道题都全错了，就基本没有分了好吧，所以一定要仔细啊。这是第18题好，我们看第19题，第19题就是属于那种最最常见的数列第一问的除法了。他给了两个数列，然后让你求an和BN分别求通项公式，这是这也是我从某个大题的第一问求出来的嗯，取出来的。那么，我们先看这个a怎么求吧？它是等差数列就一定要一定要一定要熟练啊，这个也是非常非常基础的。我们先求a吧，它给出了两个条件a2=3s 3+a六=20。我们怎么求等差数列公式哎，这这其实就是二元一次方程组问题嘛，你看等差数列里面的所有量是不是都可以用a1和d来表示出来？两个未知数，两个方程，那就可以求出来，这个等差数列都是这样求的，那么a2=3是不是就是得到第一个方程a 1+d=3了，对吧？那么下面这个呢？s3和a6怎么用a1和d1表示呢？直接背公式嘛，有一个公式是什么？大家一定要记住啊。我们在这种题的时候，我们带的是SN的这个公式。等于na一加二分之n，乘以n减一d。这个公式如果你不熟的话，你在本子上，现在就可以抄20遍，暂停视频抄20遍，如果你熟的话，我我我不管了。那么，这个也代进去是不是三a一加二分之三乘二d对吧？然后a六是不是a一加五d呀？那么这个就是四a一加上八d，然后它等于。是不是20啊？等于20我写这边来，然后两边同时除以四就是a1+2 d=5，那么我解这两个方程。是不是减一减就得出d=2嘛，然后a1是不是等于一啊，所以an的通项公式an就等于2 n- 1？那么，重点是求这个b呀，你看这个b是不是它前项为tn嘛？tn=2 bn- 2怎么办呃？再写一个嘛，刚刚讲过的。tn=2比n-2tn+1=2bn+1-2。减一减就得到bn+1，是不是等于2bn+1-2bn，对吧？诶，这个时候就得出bn+1等于。2 BN这个时候能说它是等比数列吗？诶，这道题可以了，因为这对n大于等于一都是成立的，那么所以BN=2的n- 1次乘以b1。
　　b1等于多少呢？是不是这一个式子？n=1代进去啊，对吧？那所以b1是不是就等于二了？对吧？所以它等于二的n次这个题就做完了。下一题，接下来的几道题呢？就是我刚才埋的另一个悬念。也是，就是我刚才讲的那种特殊情况的，就是在一般的情况下呢。题目给的条件SN是SN与an之间的关系，我们都要再写一个，但在极少极少数情况下。是反过来的，我们要把an把它变成sn-sn- 1，然后求出SN的通项公式再求an。这是非常非常少的情况了。在十几年的模拟题当中。我试着找这种特殊情况的题，我只找出了这一道，哼，所以你说刚才我那个只要就还是有道理的。而且高考也不会考考那种怪题嘛，我只给大家建议，这样好，我们先看第一题，第一题，它其实不属于那种特殊情况，因为它求的就是埃森特朗公式，对吧？好，那这个时候我就把an+1，是不是就可以把它变成什么？sn+1-sn。我这个题就变成了sn+1-sn=sn+1+sn+2÷2n+1。这个式子怎么化简呢啊？非常显然，它是一个分式嘛，那怎么办？肯定交叉相乘嘛，我就得到。这个乘它等于2 n+1好，那我们口算一下这个式子，乘这个式子怎么乘比较好呢？是不是你敏锐的观察到？这个式子乘它前面这个东西，这个二先不管它是不是有个平方差公式啊诶，这个时候就有了加一方。减去sn方，然后再加上2sn+1-2sn就得到它等于2n+1。有些同学又困惑了，那这个东西怎么处理呢诶？这里就有一些小绝活了。首先，我先告诉大家，这个题也是用累加法。就是我最开始讲累加累乘法，但怎么做呢？好有一个非常巧妙的技巧，我先把这个给他画一画，你看。SN+1^2，我把SN+1的项圈放一块，然后SN的项圈放一块，我就得到。这个东西减去SN方加2 SN=2 n+1。这时候你会观察一下。你看我这里加一个一这里加一个一，虽然它减掉了，但是现在是不豁然开朗诶，这时候通过因式分解，我就得到什么东西啊？
　　sn+1+1^2-sn+1^2=2n+1。现在是不是就可以累加了，对吧？我知道有些人肯定没反应过来，有些人反应非常迟钝，那么我就写的更慢一点，更细致一点。我令bn=sn+1^2诶，这个时候我就是不得到了bn+1-bn。是不是就等于2 n+1了，除k这个式子，根据我刚才讲的非常本质的累加公式，是不是就可以求出必然通项公式了？BN通项公式求出来，然后呢？
　　这个式子对它进行开方，然后再减个一是不就是我们要求的答案SN啦？哎，对吧好，所以n大于等于20 BN=bn-bn- 1。加bn- 1，减bn- 2。一直加加到b2-b一，然后再加b1b1等于什么呢？b1=s一+1^2s1是不是等于a1=1呀？一+1^2=4，所以就加个四，那么这里呢？我们知道bn-bn减去这个bn- 1是不是等于2 n- 1的，对吧好？
　　既然它等于2n-1，那么我就知道把它带进去就完事了嘛。b2-b一等于多少？是不是等于三啊？对吧？因为这个是n取二代进去嘛？然后这里是二减一，这里二n减三，相当于等差数列求和就是三加五，一直加到我反过来写。给大家好看一点啊，加到2 n+1，然后再加个四，而我们知道一+3+5就所有的奇数，前一个奇数相加。
　　是不是得方啊？对吧？那我把这个四抽取出一个一出来，所以是不是就等于方加三啊？然后这个等于一呢？刚好又是适合的。所以这个题基本都做完了BN它的通价公式就是这个嘛。那么SN呢，就是BN开个根号，然后再减一，所以这个题就做完了，这就是SN的通项公式。好，我刚刚说这个题其实没有那么特殊，因为它本来就是求SN，也就是说我们本来就是求SN的通项公式嘛，那我们很自然而然的就会把这个。an+1把它变成sn+1-sn。所以这个题其实也称不上特例的，那么真正是特例的，反而是第21题好，我们慢慢来，我先把这个东西给它擦掉。注意啊，这个特例是十几年模拟题当中只有一两道是这样的，所以大家完全不用担心高考会出现这种情况，我只是举个例子。来作为一个特殊情况来补充而已好。他说，二SN等于an加an分之一，如果我们用常规的套路再写一遍，会出现什么呢？就是二SN加一等于。an加一加上an加一分之一嘛，对吧？好，那我们通过常规的再减一次，我减一减，你会发现。2n+1=an+1-an，然后再加上。an加一分之一减去an分之一诶，这个时候你会发现它化简是很有难度的，怎么化呢？你会发现它怎么都化不了。
　　看好啊，把这个移过来就得到了，加一+an等于右边这个an+1 an，然后an-an+1。这个东西呢，它是有分式的，那么我要真正的表示出an+1等于多少多少an。也就是说，我记它为比如说嘛，那这个式子一定是含有根号，那些乱七八糟东西的，这个就很麻烦，很麻烦而。如果我们反其道而行之。我们把这个an比如说啊n大于等于二的时候才能才能这么做，我把这个an=sn-sn- 1好，我们把这个代进去诶，你会发现。2 SN=sn-sn- 1，然后再加上。SN减SN减一分之一好，你这样把它移过来，你会发现什么？SN加SN减一等于SN减SN减一分之一好。这个对任意的n大于等于二都成立。这是不是呼应了我们上面那个题啊？也是我刻意设的悬念，你看这个题。这个是不是就是一模一模一样的操作，对吧？
　　注意啊，这个讲讲义的编写非常。非常牛逼啊。对吧，所以我把这个给它移过来，是不是就是SN方减sn- 1^2等于一对吧，所以我就得到SN方是。公差为一的等等差数列，那么s1方呢？等于一，所以我就得到SN方就等于n那么把它开方。所以SN就等于什么根号n那么那那an就很好求了嘛n大于等于二的时候an。等于根号n减根号n- 1，那么n=1的时候呢？a1=1是不是也适合这个式子啊？
　　所以综上所述。SN等于根号，nan等于它这题就做完了。这是很罕见的题啊，也算是一道偏题吧，但我只是想给大家见更多的题而已好。下一题，接下来我要讲的也是非常基础的知识点，你你不要以为这个东西很难啊，这个是必须必须掌握的，待定系数法求通项公式，还有。简单介绍一下不动点，因为不动点呢，它涉及到的是一些小题的专题的知识，我们这是大题课，不动点就不细讲了。也没有必要，因为只有小题压轴题才会考不通点，但也涉及到一点，我就直接讲吧好，我们先直接通过题目来讲。我们上面讲的一道题是什么？是不这道题呀？对吧，我们通过再写一项，然后做差是不得到an+1=2 an- 1，然后我就通过了。取一个拉姆达，得到一个等比数列，那么这基于的理论基础是什么呢？我刚才也讲了，是不是一个只要就啊？只要它是这种形式an+1。和an的关系是一个一次函数形式，比如说pan+q，它就一定可以构造出以p为公比的。是吧，等比数列那么其实也不一定就你，你搞刁钻一点，那就没有没有等比数列了。我们可以试一试啊，就比如说对于这个非常。笼统的就ph我都不知道，我试一试能不能用代理系数法求出等比数列呢？
　　我们来看。an+1，我假设它们两个都减lambda=pan-lambda好，那么q它就等于什么？是不是lambda-lambda p呀？对吧？所以lambda就等于什么？一减p分之q。也就是说，只要这个数是存在的，那就必然可以构成等比数列，这什么时候不存在，是不是p=1的时候？对吧，因为p=1的时候，它是不是就是等差数列啦？对吧？诶，所以这就很巧妙，只要p不是唯一的数就一定可以够到是等比数列。那我们看一看这道题。你看我是不是也想构造一个等比数列啊，它的公比是多少？是不是一定是三？所以我让两边我待定一个系数拉姆达。不是系数啊，是待定一个数啊，这不是系数啊，解兰布达，然后等于3 an- 1兰布达假设存在一个实数，兰布达对任意的。n属于正整数，且n大于等于二成立，那我们把这个拉看一下有没有解就可以了嘛？对吧？好，那就是3 an- 1减去。三个拉姆达，然后再加个拉姆达。是不是3an-1-2拉姆达，对吧？那我们知道这里是不是四啊，所以负二拉姆达是不是就等于四，所以我就推出拉姆达等于负二，那么把这个负二再给它。
　　带到这个式子里面，我就得到什么？是不是an+2=3 an+2，所以an- 1啊，所以就得出它是等比数列，那这个通项不就好求了吗？就非常简单了，我们来求一求吧，它的首项是什么？a=1 a+2，它等于三，所以an等于。三的n次减二直接口算了，我们就做完了。好，这是待定系数法。那么我如果弄得更复杂一点呢？我就不是待定系数了。我要待定多个系数诶，那我们慢慢来啊，我们看这个题。an+1=2 an+2 n+1，这个时候我说它也一定会有等比数列的，一定会有。那么问题就是你怎么待定的问题了？显然，这个东西不能通过。我们上面这种待定方法了，因为你那样是求不出兰姆达的，因为这里有n啊，对吧？好，那么我们这里的待定方法听好是这样的an+1，比如说我加一个lambda。注意啊，一定是n+1加个六，因为这才是对应n+1的那个一次函数啊，不然就不同构了，就不能够是数列了好吧。然后这里是2 an，加上lambda n+MU。我们看lambda和MU能不能求出来就可以了，对吧？好，那么就有an+1。
　　等于2 an+2，拉姆达n+2缪，然后这里缪是不是减掉了，我直接我直接方便啊，我我直接选缪了，然后再减去拉姆达n减拉姆达。所以诶，你会看这个负拉姆达n跟这里又约掉了，然后这里就是拉姆达n，加上MU减拉姆达。然后我们就把这个东西跟它对一对就好了嘛。这个东西跟这个2 n+1系数进行对比，那拉姆达是不是对应这个2n啊？对吧？所以就拉姆达等于二，然后缪减拉姆达等于一，所以缪等于拉姆达加一=2+1，缪等于三。然后这个题基本上也做完了。就我我还是写一下吧an+1+2 n+1+3=2 an加。二+3，所以就得到数列，加上二+3是一个公比为二的等比数列，那么加上二+3，首先我们看是多少？是不是六啊？对吧？六×2的n- 1次，然后你把这个移过来，就是n图像公式，这个题就做完了。好注意啊。你不要看我做的这么轻松，你自己如果是第一次做的话，会出现各种各样的问题，比如说。我就说有些同学会出现的问题啊，比如说我先把这个擦掉，有些同学他不会这么待定，他知道啊，他虽然知道这里有个n那么待定的形式会不一样，他结果待定成另外一种形式了。然后它这样待定啊an+1加个拉姆达n+1=2 an，加上拉姆达n，它会这样待定，这样待定就求不出来了。他虽然知道这个是哦，这个是一次函数，我需要带一个n的，但是他选的系数个数不完整。这是非常非常常见的问题。关于这个系数啊，它到底要待定几个东西？以及它会出现哪些不完整的问题，我下下面这个题再讲，那么我在这里呢，我先把这个不动点，先给大家讲一下。什么是不动点呢？不动点简而言之，就是它能帮你快速的一下子就能求出这个兰姆达，但是它只适用于一次的形式。比如说啊，我们上面那一道我讲过的。这道题。这个题我怎么能快速知道它是减一呢诶，那我就写一个方程就可以了，我把这个an把它变成x是不是2 x- 1，我令它等于x本身。诶，那我求出来是不是x=1呀？两边同时减去不动点诶，这个时候就会出现这个等等比数列了，那么我们换这个题。刚才我们讲过这个题an=3 an- 1+4，我用同样的方法，我把这个an- 1变成x3 x+4，我令它等于x本身，那我是不是求出来什么？x=- 2那两边同时减去不动点，减去负二那是不是就是an+2了，它必然会等？三×an加，二必然会出现这样的，这是不同点的性质。那么，这个x=- 2呢？就称为这个函数的不同点啊，是这个意思，至于我要讲的更深入的话，我们之后在小题课讲好吧？这个是这个是不动点，我就带嘴过去了，其实它还适用于很多分式的情况。比如说。就以刚才我们讲过的分式变换为例。就这个这个式子。an=2 an- 1除，以an- 1+2，我把这个an- 1把它变成不动点，把它变成x。就是2x÷x+2，我令它等于x本身。x的x解出来有多少个多少个数呢？第一个解x1是不是等于零啊？
　　对吧好，我把这个x约掉之后呢？二÷x+2=1第二个解是不是也等于零啊？对吧好？当这个两个不同点都为零的时候，起倒数就满足分子单项条件，起倒数之后必然会出现等差数列。这个是不动点的性质，当然这个就是讲深了，我们现在同学们只要记住分子单向起倒数就可以了，关于不动点的知识，我们以后再小题专门讲。还有一些蛛网图啊，等等类似于还有什么数列与函数导数结合等等那方面的东西才会用到不动点，这里我们就不讲了啊。
　　好，那我我们接下来继续讲这个待定系数法。我们刚才讨论的待定系数法新手会常见出现的问题，我们下面这几道题，我们会仔细讲，那么我先把这个第24题给大家讲清楚。首先你会发现啊，我选的题，比如说我换种颜色。第一道题呢，它是只加一个常数的，那么第二道题，它加一个一次函数，第三道题呢，它加一个二次函数，其实道理都是一样的。它是几次函数，你就待定几个个数，比如说第24题，它是不是原式，是不是an+1=2 an+n^2减n+1啊？首先你要读信一个铁律啊，就是这个是二，那就必然有公比为二的等比数列，那么怎么待定呢？那是我们的事，注意我接下来待定给大家看。an+1加上注意啊，是n+1^2，不要弄错了，再加上mn+1，然后呢，再加上比如说乱七八糟数字，比如说加个m吧。就是说它是二次函数，我们必须也带定一个二次函数，然后呢，因为它公比是二嘛，就是二，然后我把这个左边的结构再抄一遍，就是an加上拉姆达n方。加缪n，然后加m。这个是这两个结构是一样的，然后呢，我们把这个式子给它全部展开。变成这种形式，然后系数一个一个对过来求出来就可以了，这个我就不算了啊，反正你知道你要知道这个思路就可以了，在真正的考试当中呢。他不会考这种变态题的。就什么意思呢？它不会考这种加一个二次形式的，因为它考的本质全部都是待定系数法，它顶多顶多考这个，这个第二个加一个一次函数就顶天了，因为它思路是一样的嘛。它主要就是考你思路，没有必要考这种乱七八糟的运算好吧，所以这种加一个二次函数的形式，我只是拿过来举个例子，搞一个推广，但实际考试很少出现。只是锻炼大家思维好吧。像这个第三个呢，它就是待定三个数字好那么重点，我们讲一讲下面这些题。我们看第一题啊an+1=2 an+2×3的n次加一，这个怎么待定呢？我上面讲的都是常数啊，一次函数再加一个二次函数，那么这里出现一个指数函数，它是几次呢？几次都不是。
　　是吧，那么这个怎么待定哎？其实都是一样的，你只要抓住这个式子的结构就可以了，看好。我建议大家现在暂停一下视频，你看一看这个东西到底是你可以自己试一试，到底代理几个系数，代理在哪里？如果你不愿意暂停，那就听我讲吧。这样an+1加上拉姆达乘以三的n次n次还是n+1次，我故意糊弄一下你就是n+1次，一定不要弄错，这很容易错的。
　　然后呢？我能不能只这样呢？我能不能只只只搞这样子？这一定是不行的，因为这里有个一嘛，对吧？所以必须还要加一个常数，所以这里就加一个命，然后呢？这里也加个m，这样才可以呀，那么我把这个展开，它是等于2 an+2拉姆达。三的n次加上二缪，然后再减去这个缪就是加缪嘛，然后再减去这个东西。好，那么这两个再合并一下，它就等于什么是不是2 an加上不是加了？因为这个相当于就是这个加一给它去掉，然后再乘个三嘛，对吧？二减三就是负一减去拉姆达乘以三的n次加缪。那么，我们把这个式子跟这个式子进行对比，是不是就得出兰布达？是不是等于负二啊？缪是不是等于一啊？对吧？好，那这里又有等比数列，所以这个这个题也做完了an+1。在我直接抄了这个是。负二三的n+1次加一=2。an- 2×3的n次加一，它是等比数列，所以an- 2×3的n次加一=2的n- 1次。a一减去二乘三就是六加一嘛，就等于什么a它等于三三减去六负三加一就等于负二等于负的二的n次，所以an就等于二乘以三的n次。减二的n次减一。有没有算错？我们验证一下，二×3-2-1a1刚好可以，哈哈a2等于多少呢？
　　a2等于？一定要验证一下啊，二×3+2×3+1等于十三二代进去是不是可以呢？18-4-1诶，这是对的。好，那这个题我们就做完了。注意啊，我讲一道题，不只是一道题，我讲一道题，可能讲好几道题，这个也是，万一哪个时候填空压轴题又考了这个东西呢好。我给大家变一变思路。
　　变一变，我把这个擦掉。我出一道这样的题。an+1=2 an+n×3的n次加一，然后我告诉你a1=3。这样你该怎么做呢诶？这个时候又又有大麻烦了。你看我们刚才是怎么带进系数的，是不是an+1加上拉姆达乘以三的n次加n+1啊？加个缪啊？我们刚才是这么待定的。好，那么我们现在怎么办？这里是不是？由原来的一个常数二是不是变成一个一次函数了，一次函数啊？好，那么这里的拉姆达也应该变成一个一次函数。一定要对应啊，这跟上面是一个道理，所以这里我我我们应该怎么待定啊？这里应该是，比如说拉姆达n+1个m吧，因为MU已经用过了，肯定是要这样待定的，然后然后这边呢？也是对应的。我我这里这里我又要提醒大家一下，你能不能写成lambda n+n？你这里变成n+1了，这里也要变成n+1啊，所以这里应该待定成什么lambda×n+1+n，一定不要弄错，所以应该这样待定。一旦这里变成一个一次的，那么我们要带进的数就变成了三个好，这个自己自己去算啊。那我再问一下，如果我把这里变成一个n方加n呢？怎么办诶？那是不是这里又要变成三个数了？兰布达n+1^2，加上兰布达一吧，兰布达2 n+1加，兰布达三。
　　括号乘以三的n+1次加密，是不是就要这样待定了？对吧？好，这只是我玩的第一个把戏。我玩的第二个把戏是什么呢？好，我我我不我不这么写啊，我把它都拆掉。第二种情况，我把这个一都不要了。an+1=2 an加上比如说啊呃n方加n3的n次。一不要了之后呢？其实其实刚比刚才那个还要简单了，你是怎么待定的？
　　我建议你自己一定要思考思考，它就这么待定。拉姆达1 n+1^2加拉姆达2 n+1加上拉姆达三。然后再乘以三的n次，这里就不用加MU了，懂我意思吧，我只是训练一下大家思维啊，为什么不用加MU，因为这里没有常数了嘛。这里没有加一了，所以就不用了。好，这只是锻炼一下大家思维好，那我讲完之后呢？你们看一看这个第26题，这就非常简单了，这个只要怎么待定就可以了，是不是an+1加上拉姆达乘以三的n+1？等于2 an加上。拉姆达乘以三的n次，我把这个拉姆达求出来，是不是就可以了诶？这道题就非常简单了，我们简单做一下吧，2 an+2拉姆达乘以三的n次减去三拉姆达三的n次。所以就是就是负拉姆达乘以三的n次嘛，负拉姆达是不是等于一啊，拉姆达等于负一，所以所以这个题就非常简单，这里就是减减。
　　然后它是等比数列，所以an-3的n次等于二的n-1次a1-3是不是负二啊？对吧？负的二的n次，所以我们就求出来an=3的n次减去二的n次诶。我已经我刚刚讲了那些非常复杂的东西，而真正考试呢，往往就考这种简单的，所以你们要有一种降维打击的感觉好吧。但但有时候确实是防不胜防，我们这个三的n次前面确实是需要加一个一次函数，然后呢n+3的。一定要注意啊，一定要注意，我们不知道他考的怎么样，我们只能平时训练做到最全面，最完善。好，我们看最后一道题，最后两道题诶，这个就是我所谓的极大存折，也是刚才买的一个伏笔啊。这个是不是也是满足分子单项的，对吧？所以想都不用想怎么办？是不是渠道是吧？对吧？我刚才讲的方法全部都盘活了。这两道题是作为本节课的总结题好吧呃，刚才讲的东西都要用到，那么我先先看第一个是不是an分之一把它写倒数之后是不是就是nan减一二n减一加上一对吧？然后因为它的分子单项，所以把它拆开来等于2 n+nn- 1。安静。对吧，那然后通过观察的话，你看这个n是不是一定要移到这这边来，移到这边来会出现什么效果呢？是不是n÷an=n- 1？an- 1+2，然后怎么办？这两个结构是不是一样的？如果你看不出来，我另BN=n÷an，那么BN是不是就等于bn- 1+2横成立了？
　　所以边是不是等差数列啊？那么b一等于什么？b一等于a一分之一是不是就就一啊？对吧？所以BN等于二n减一那么an的通项公式就是n除以二n减一。第一第一个就求好了，那么第二个呢？稍微复杂一点点。an是不是也是起到数对吧？起到数等于nan- 1 an- 1+2 n- 2。怎么变呢？当然也是要把这个n移过来嘛，这两个题是一样的啊。它是不等于一+2×n- 1除以这个对吧？那么我同样一种令法，我令这个BN=n÷n。然后我就得到什么BN=2 bn- 1+1诶，这是不是就是我们刚才讲的待定系数法，但是如果你通过眼睛看或者用不动点，你一下就可以看出来。用眼睛看呃，直接直接看出答案了，用不动点怎么求呢？是不是2 x+1=x啊x算出来等于多少？负一对吧？所以两边同时加1 BN+1=2 bn- 1+1，所以有等比数列。b1+1等于多少？b1是不是等于也是等于一对吧？所以这是二的n次嘛减一嘛，这是BN。BN等于它那an呢？an就是n÷2的n次减一，所以这个这个题也做完了。好，这是我们的第一节课，第二节课，第三节课还会更精彩。比如说啊，我举个例子，我们下节课讲什么呢？其实我告诉大家，这些题都是垃圾题，我刚才做的方法都是垃圾方法。第二节课讲了常数列思维，我简单剧透一下吧，这怎么做呢？你看an+1=an加上。我把这个给它拆开来呀，然后你会发现an加一加上二除以n加一等于an加n分之二，所以我令BN等于an加n分之二BN是不是长数列啊？所以它就等于b1了，你这个题就就秒杀了我们第二节课会。非常非常非常详细的。讲完这个常数类思维，然后再讲一大堆什么我不告诉你了。好，这节课就这这么结束了，反正花样还多的很，你既然报了这个课。
　　就要有耐心，听完有决心听完。这是你的投名状。好吧，那么这节课就到这。
　　资源目录
　　01.数列第1课：最彻底的基础知识梳理【仅此讲含馨雅网www.babyxy.cn水印】.mp4
　　02.数列第2课：常数列思维，观察性思维爆破.mp4
　　03.数列第3课：杀死错位相减垃圾方法：待定系数裂项法.mp4
　　04.数列第4课：运算轰炸，裂项扫荡与奇偶数列求和.mp4
　　05.数列第5课：简单死了的煞笔高考题，给你们爽一下.mp4
　　06.三角第1课：基础大扫荡，一节课彻底熟悉所有三角公式.mp4
　　07.三角第2课：精准题库的庸题训练，拆包装能力内涵化.mp4
　　08.三角第3课：大一统式运算轰炸，所有题都一个吊样.mp4
　　09.三角第4课：泛运算举例，单变量思想运算轰炸.mp4
　　10.三角第5课：三角延拓讲解，不听，立几和解析几何就等死吧.mp4
　　11.立体几何第1课：一节课，彻底解决所有线面关系证明问题.mp4
　　12.立体几何第2课：骚式建系，细致分类.mp4
　　13.立体几何第3课：运算轰炸，再难也就这样，难不到哪里去.mp4
　　14.解析几何第1课：所有解析几何题恒久不变的宗旨.mp4
　　15.解析几何第2课：点参与线参，至关重要的运算轰炸.mp4
　　16.解析几何第3课：比值问题和面积问题，运算轰炸.mp4
　　17.解析几何第4课：最终式思想降维打击所有解析几何难题.mp4
　　18.导数第1课：导数大题应试的底层思想，就是不等式放缩.mp4
　　19.导数第2课：极值点的偏移，最简单的最难题.mp4
　　20.导数第3课：比值换元（上）.mp4
　　21.导数第3课：比值换元（下）.mp4
　　22.导数第4课：主元变换的消元艺术.mp4
　　23.导数第5课：端点效应解决恒成立问题.mp4
　　24.导数第6课：隐零点和同构变换.mp4
　　25.概率统计：数列与概率结合的马尔科夫链问题.mp4

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